Prova di maturità 2017-2018
Sei un insegnante? Al link che segue trovi la griglia di correzione pronta da scaricare: Griglia
Prova d’esame |
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|---|---|
| Il testo della prova | |
| Problema 1 | Soluzione |
| Problema 2 | Soluzione |
| Quesito 1 | Soluzione |
| Quesito 2 | Soluzione |
| Quesito 3 | Soluzione |
| Quesito 4 | Soluzione |
| Quesito 5 | Soluzione |
| Quesito 6 | Soluzione |
| Quesito 7 | Soluzione |
| Quesito 8 | Soluzione |
| Quesito 9 | Soluzione |
| Quesito 10 | Soluzione |
Ciao, ragazzi! Com’è andata la prova di matematica?
Secondo noi i problemi erano impegnativi, con diversi calcoli.
I quesiti, per fortuna, erano più tradizionali. Nel complesso, una prova d’esame con tanta probabilità.
Partecipate al nostro forum per raccontarci com’è andata, scambiare opinioni e fare domande. Aspettiamo i vostri commenti!
Mi aspettavo qualcosa sui teoremi di Rolle, Lagrange, sulle funzioni continue, sulla derivabilità. Inoltre pensavo ci fossero i passaggi dai grafici della funziona a quello della derivata o della funzione integrale ma nulla. Strano come compito
Io trovato la prova più semplice rispetto a quelle degli ultimi anni, che ho fatto per esercitarmi.
Il problema 2 secondo me non era difficile, solo lungo nei calcoli.
Concordo. Rispetto agli ultimi anni era più fattibile. Il punto 4 del problema 2 era interessante
Vero, alla fine ti ritrovavi con il dimostrare che il polinomio p(x)=f(x)f'(x)+x avesse al massimo 2n-1 radici reali, che è vero per il Teorema fondamentale dell’Algebra, essendo esso un polinomio di grado 2n-1.
Quando Arriva la soluzione del Quesito 1?
Dacci ancora un po’ di tempo. Work in progress! 😉
Ci siamo! Ora è pronta la soluzione!
Mia figlia frequenta un liceo scientifico italiano fuori dall’Italia e ha detto che nella sua classe ad occhio e croce sono riusciti a fare metà problema (quello sulle mattonelle) e 4 quesiti.
La seconda parte dei due problemi è abbastanza impegnativa quest’anno!
Non appena sarà pronta la soluzione completa la pubblicheremo, così gli studenti che non sono riusciti a completare il problema potranno prepararsi per l’orale.
Scusate, ma mi spieghereste come calcolate il limite di x che tende all’infinito di una funzione periodica? Perché io so che il valore è indeterminato, mentre dalla soluzione sembra nemmeno essere presa in conto questa cosa…
Teorema dei due carabinieri 😉
Se ti riferisci alla funzione del quesito 4, essa non è periodica: lo sono sinx e cosx, che però costituiscono solo una parte della funzione. Inoltre, per quanto riguarda il calcolo del limite, seno e coseno sono sì funzioni periodiche, ma entrambe comunque limitate (comprese tra -1 e +1), e questo porta alle valutazioni riportate nella soluzione.
Ciao Pierantonio,
le funzioni y=e^sinx e y=cosx sono periodiche e, come dicevi, il loro limite per x che tende a più e meno infinito non esiste.
La funzione del quesito, però, non è periodica e possiamo calcolarne il limite, come fatto nella soluzione.
Problema due: primi 3 punti abbastanza fattibile, quarto punto senza senso. Calcolare un bel volume no? Non capisco poi la scelta del MIUR. Sì stressano gli studenti con una marea di esercizi su integrali, su Rolle, su Lagrange durante l’anno scolastico e poi come quesiti ti mettono due sul piano tridimensionale, equazioni differenziali e probabilità he in molte scuole non si affronta perché non si riesce con il tempo. Giusto per dirla il libro di testo adottato dalla nostra scuola neanche parla minimamente di piano tridimensioale
Probabilmente la geometria analitica dello spazio sta nel volume 4: quasi tutti i testi la piazzano nel volume del quarto anno assieme alla geometria sintetica.
Probabile. L’ho studiata su internet senza alcun problema. Continuo però a non capire il perché di questo bisogno. Mettere qualcosina come rolle aiuterebbe molta gente a prendere 10/15
A quando la correzione del quesito 9 ?
questo compito era veramente impegnativo 🙁
Ci stiamo ancora lavorando, arriva presto!
Lo svolgimento del quesito 9 ora è disponibile!
Riuscireste a pubblicare per prima cosa i quesiti 8/9?
Volevo capire esattamente come svolgerli visto che su altri siti ci sono cose che non comprendo
Ci stiamo ancora lavorando, pubblichiamo tutto il prima possibile!
Stiamo caricando il quesito 8: speriamo ti sia d’aiuto!
Riferito al punto 4. del problema 1.
Com’è possibile che il meccanismo colora la mattonella e poi “ritorna al punto di partenza” (quale?) percorrendo la diagonale della mattonella? I due estremi della diagonale, ovvero i punti (-1,-1) e (1,1), non possono essere né il punto di partenza né il punto da cui il meccanismo comincia a “tornare indietro” (se si comincia a colorare lo si fa sopra la zona da colorare, non nello spazio bianco, idem per la fine). È possibile che la “diagonale” in questione non sia quella della mattonella grande bensì quella del primo quadrante (in sostanza, quella che va da (0,1) a (1,0))? La descrizione nel testo ministeriale non mi sembra molto chiara e lascia spazio a due diverse interpretazioni, anche se con un risultato simile. In ogni caso un problema pensato per l’applicazione alla realtà dovrebbe essere realistico, quindi un meccanismo di colorazione non percorrerà mai la diagonale che va da (-1,-1) a (1,1), anche perché sporcherebbe sempre lo spazio bianco.
In effetti il testo lascia spazio a più interpretazioni. Nella nostra risoluzione, che pubblicheremo tra poco, abbiamo scelto la strada che ci è parsa più semplice al fine di calcolare la probabilità richiesta.
In effetti la descrizione è strana, in ogni caso penso che il MIUR intendeva la diagonale da (-1,-1) a (1,1).
In questo caso va calcolata la distanza tra l’origine e il punto di intersezione tra la retta y=x e a(x) (facendo un opportuno sistema). Il rapporto tra la distanza trovata con radice di due dà la probabilità p(a) che la mattonella NON sia danneggiata. Quindi facendo la sottrazione 1-p(a) si ottiene la probabilità che la mattonella SIA danneggiata. Analogamente si procede con b(x) e si sommano le due probabilità ottenute, che moltiplicate al totale di 10.000 danno circa 980 mattonelle danneggiate.
Il secondo metodo è più semplice:
Si considera che la diagonale da (1,0) a (0,1) passi attraverso tutta l’area COLORATA sotto a(x), quindi ogni piastrella disegnata utilizzando a(x) sarà buona. Invece visto che la stessa diagonale passa attraverso tutta l’area BIANCA sopra b(x), ogni errore commesso dal meccanismo danneggerà le piastrelle disegnate con b(x). Se il tasso di errore è del 20% e le piastrelle b(x) sono 5.000, le piastrelle danneggiate saranno 5.000/5=1.000.
Questo metodo è più semplice perchè richiede soltanto di dimostrare che a(x) sia concava e b(x) convessa, mentre il primo metodo implica calcoli come la distanza tra due punti e un sistema tra due equazioni.
In ogni caso, laddove sorgono legittime incomprensioni e il procedimento svolto è corretto, la decisione più sensata sarebbe accettare entrambe le risposte.
Hai pienamente ragione… testo meno che incomprensibile. Complimenti a quel gran genio che lo ha ideato.
@Pierantonio Bertuccio
il limite per x tendente ad infinito di una funzione periodica oscilla tra i valori del codominio, mi spiego meglio: il cos x è una funzione periodica i cui valori sono compresi tra 1 e -1, ad infinito la funzione oscillerà tra tali valori e quindi facendo riferimento al quesito 4 per +infinito rimane (+infinito-[e^-1;e])/(5+[-1;1] e quindi il risultato è +infinito; con lo stesso ragionamento si risolve il limite per x tendente a – infinito, esso risulta in una forma indeterminata. Essendo verificate le ipotesi de l’Hopital si può calcolare il limite del rapporto delle funzioni. Si fanno i medesimi ragionamenti fatti precedentemente.
PUNTO 3 PROBLEMA 2 AMBIGUO
Riporto la traccia:
3)Detto T il triangolo delimitato dalle rette r1, s1 e dall’asse delle ascisse, determina la
probabilità che, preso a caso un punto P(xP; yP) all’interno di T, questo si trovi al di sopra
di Γ1 (cioè che si abbia yP > f1(x) per tale punto P)
A me sembra ambigua perchè
– se considero il testo capisco che P è un punto sopra la curva Γ1 nel triangolo T ;
– se considero la parentesi sembra che yP sia sopra Γ1 per ogni x (yP > f1(x)) per cui solo i punti del triangolo
che ha per vertice il vertice del triangolo grande e per base un segmento che appartiene alla retta tangente
nel punto di massimo relativo della curva Γ1 .Essendo tale triangolo simile a quello grande basta fare i
rapporti tra le altezze al quadrato. Cosa ne pensate?
Non ci sembra ci siano ambiguità.
Nel testo del terzo punto del problema 2 si parla di Γ1 e di un punto P che deve trovarsi al di sopra di Γ1 (che è il grafico della funzione f1).
Tra poco pubblicheremo la soluzione completa e speriamo possa risolvere ogni dubbio, in caso scrivici nuovamente se qualcosa non è chiaro.
Il testo è chiaro . Il commento tra parentesi crea l’ambiguità perchè è scritto
yP > f1(x) e non
yP > f1(xP).
f1(xP) è uguale a yP, mentre la richiesta è che yP sia maggiore di f1(x) per il punto scelto a caso all’interno del triangolo.
Su questa affermazione non concordo perchè
f1(xP) appartiene alla curva Γ1
mentre
yP è l’ordinata di un generico punto P nel triangolo come è detto nella traccia (“preso a caso un punto P(xP; yP) all’interno di T”)
Hai ragione, avevamo freinteso la domanda. Nel testo tra parentesi dice “per tale punto P” lasciando sottointendere effettimante che yP>f1(xP) come avevi giustamente detto tu.
Presto arriviamo con tutto lo svolgimento.
Quando usciranno le soluzioni dei quesitii?
I quesiti mancanti arrivano presto, stiamo sistemando le ultime cose!
Ma agli orali possono chiedere anche le cose che non abbiamo scelto?
Normalmente i docenti non lo fanno, ma potrebbe succedere. Ti consigliamo di guardare gli svolgimenti anche del problema e dei quesiti che non hai svolto.
Quesito 8!! Vi prego! In che ordine pubblicate i restanti?
Appena un quesito è pronto lo pubblichiamo. Stiamo sistemando le ultime cose 😉
Lasciando perdere la formalità, se p(X=n) è la probabilità che il giocatore A vinca dopo n partite, vuoi calcolare p(X=10)+p(X=11)+p(X=12). Sappiamo che A per vincere, vincerà sempre esattamente 10 partite. Quindi per Bernoulli la probabilità richiesta è p(X=n) (n)(10) (1/2)^10 (1/2)^(n-10). Calcoli questa probabilità per n=10,11,12, ed alla fine moltiplichi tutto per 2, perché nel caso di vittoria giocatore B la probabilità è la stessa. Il risultato è 92/2^11 = 23/512 mi pare.
La soluzione completa è quasi pronta, potrete confrontare il risultato e lo svolgimento con il nostro.
Soluzione pubblicata! Speriamo sia d’aiuto!
Belli entrambi i problemi! Non ho apprezzato molto il punto 3 del problema 2: potevano dire che era richiesta una approssimazione della radice (certo, si può sostituire una coppia di numeri complessi coniugati e trovarne il valore preciso, ma i conti sono abbastanza impraticabili), anche perché ho cercato in ogni modo di non approssimarla per darne un valore preciso.
Scusate ma secondo voi il quesito 8 non è scritto in maniera un po’ ambigua?
Per come la vedevo io uno poteva vincere anche 0 partite, dunque la probabilità era del 100%
Il testo del quesito lascia spazio a più interpratazioni. Siamo al lavoro per fornire lo svolgimento più completo possibile.
Ogni giocatore ha il 50% di probabilità di vincere un turno… cosa c’è che non é chiaro? Il risultato è 79/2048 mi son confrontato con altri capitani delle varie squadre di matematica, purtroppo molti siti danno risposte evidentemente sbagliate. Se vi serve il procedimento ve lo giro.
Il quesito 8 è in caricamento. Anche per noi il risultato corretto è 79/2^11 quindi 79/2048!
La mattonella del problema 1 ha lato 2 non 1, giusto?
Nel testo si parla di 1 in una certa unità di misura. Nel piano cartesiano la mattonella ha lato 2.
Oppure può essere anche letto come “l” (la lettera L)
Anch’io ho risolto con lato 2 ma a rileggere meglio specificavano proprio lato 1. Certo che mettere nel piano cartesiano gli estremi in -1 e 1 non ha aiutato…
In riferimento al problema 2, richiedere o la conoscenza delle formule di Cardano (fuori programma) o l’applicazione del metodo di bisezione per ottenere in modo approssimato un estremo di integrazione è un po’ difficile…
L’ultima domanda, poi, è più degna di un quesito e la sua introduzione – che ha l’unico scopo di legarla al resto del problema – suona più da distrattore.
Rimane il fatto che i problemi “esperti” si confermano essere disseminati da un numero inferiore di polpette avvelenate rispetto a quelli apparentemente più tradizionali, anche se la maggior parte degli studenti se ne tiene alla larga
Quesito 8:
Per vincere la partita in 10 round, deve vincere sempre: (1/2)^10
Va sommato alla probabilità di vincere in 11 round ma la sconfitta finale non è accettabile altrimenti vincerebbe in 10 round anziché 11. Quindi calcolo la probabilita che su 10 partite ne vinca 9 e la moltiplico per la probabilita di vincere l 11esima partita
lo stesso va fatto con la probabilita di vincere in 12 round esatti,la sconfitta finale NON è accettabile quindi calcolo la probabilità di vincere 9 partite su 11 e la moltiplico per 1/2
(i risultati pubblicati su internet fino ad ora sono a mio avviso sbagliati perché non escludono una sconfitta nell ultimo round!!)
Concordo esce 79/2048
Ora potete confrontare anche il vostro svolgimento con il nostro!
Riferito al quesito 9. Sapendo che era regolare, non Era possibile anche considerare che l’altezza delle facce dovesse essere uguale a quella del triangolo di base e creare un sistetma a 3 incognite per trovare x,yz?
Anche il tuo metodo è corretto. Prova a confrontare i tuoi risultati con quelli del nostro svolgimento: dovresti trovare le stesse coordinate 🙂
Ma il problema 8 come si faceva ? Perché le persone che potevano vincere erano 2 e quindi io ho moltiplicato per due la probabilità trovata tramite bernulli
Si era da moltiplicare per due
Prova a confrontare lo svolgimento con il nostro, speriamo sia utile!
Per quanto riguarda i problemi, verso che ora posso consultare la soluzione?
Ciao Ettore, speriamo di fornire tutto entro la prossima ora! Stai connesso 😉
Scusatemi ma nel quesito 8 il giocatore per vincere non deve fare 10 punti?
Seguendo questa logica io avrei fatto prova ripetute come voi per 10 su 10. Poi però avrei fatto 10 su 11 e 10 su 12, non capisco il 9. Probabilmente ho interpretato male il problema, ma non sono necessari 10 punti?
Vedi il messaggio di Pietro Pasqui delle 17:34, lo ha spiegato benissimo 😉
Buongiorno, nel quesito 9 era possibile trovare il punto P, mettendo a sistema AP^2=8, BP^2=8 e CP^2=8, con AP, BP, CP distanza tra A, B, C e P (punto generico di coordinate (xP;yP; zP)) e 8 lunghezza dello spigolo del tetraedro?
Grazie mille anticipatamente 🙂
Anche questo svolgimento va benissimo, dovresti trovare le stesse coordinate per i due punti P! 😉
Il quesito 8 non è un po’ ambiguo? Dice “qual’è la probabilità che uno dei due giocatori vinca…” Quindi io ho calcolato la probabilità che ha il singolo giocatore (vedendo quindi la probabilità che ho io che sto giocando). Mentre poi la risposta è data vedendo la domanda come “qual’è la probabilità che finisca entro 12 round” (che come domanda sarebbe molto più chiara). Infatti sono andato a calcolare la probabilità che ha uno dei due ed è 1,93%. A voi non sembra ambigua come richiesta?
Non ha detto che il primo giocatore deve vincere: ha detto uno dei due senza dire quale , andavano bene entrambi.
Ciao Luca,
anche noi, come Nicola, abbiamo interpretato la domanda del quesito come “vinca il primo o il secondo giocatore” e quindi il nostro risultato è circa il doppio del tuo.
Se foste dei professori (sempre che non lo siate già) lo contereste come sbagliato?
La griglia di valutazione non è “tutto o niente”. L’avere considerato la frase “uno dei due giocatori” come “il giocatore A” non è, a mio parere, un errore grave se il resto del ragionamento è corretto (fornendo, quindi, la risposta 79/4096 anziché 79/2048, utilizzando Bernoulli o un Bernoulli misto). Grave sarebbe l’applicare solo una volta la binomiale, come molti hanno fatto, ahinoi.
Sempre in riferimento al punto 3 del problema 2, io ho interpretato leggendo la parentesi che P dovesse trovarsi al di sopra del grafico della funzione contenuto nel triangolo, dato che yp>f(x), quindi qualunque x. Ad esempio un punto compreso tra i grafico della funzione ed il lato di destra del triangolo, ha l’ordinata maggiore di alcuni punti di f e minore o uguale di altri.
Dal mio punto di vista sopra il grafico significa considerare un punto appartenente al triangolo al di sopra del massimo della funzione.
Concordo, l’estensore è stato perlomeno ambiguo. Nella nota in parentesi si specifica che yp>f1(x) e non yp>f1(xp), quindi concordo con l’interpretazione data da te. Aspettiamo la soluzione della Staff, ma in molti siti danno per scontato l’interpretazione che prevede il calcolo integrale e l’approssimazione dello zero della f1(x).
Si infatti, tutti i siti considerano come casi favorevoli le due aree superiore e laterale al grafico della funzione; ma io concordo che la traccia è ambigua.
Infatti, io continuo a dire laterale…
Ciao Diego, ora abbiamo pubblicato la nostra soluzione. Prova a confrontarla con il tuo svolgimento.
In riferimento al quesito 4, perché considerate e^-x con x->oo = 1 ? Non equivale invece a 1/e^oo , cioè 0?
In realtà non si tratta di un’uguaglianza.
Infatti, e^(-x)=1/(e^x) come giustamente dici. Quello che affermiamo nel testo è che per ogni x>0 e^(-x) è minore di 1 e questo ci serve per trovare una maggiorazione al denominatore, per poi poter applicare il teorema del confronto. Speriamo ora il procedimento sia più chiaro!
5 anni della tua vita passati con sacrificio, impegno e dedizione per essere drasticamente buttati da questa maledetta prova…
Secondo me avete sbagliato l’8. Si risolve applicando la formula di distribuzione binomiale (n k)*p^k*(1-p)^n-k
E come risultato viene 2,2%, in molti lo hanno risolto come me
Ciao Alberto, hai provato a verificare tutti i passaggi con il nostro svolgimento? Anche noi abbiamo usato la distribuzione binomiale.
A mio parere, dall’anno prossimo in poi sarà praticamente necessario dotarsi di una calcolatrice grafica.
Il prossimo anno la prova cambierà radicalmente e coinvolgerà più discipline, salvo ripensamenti
Per il calcolo dei vertici del tetraedro, nel quesito 9, non si poteva utilizzare una distanza pari all’altezza del tetraedo regolare e determinare le coordinate come distanza dal baricentro della base con i coseni direttori della retta?
Sì, confermiamo che il tuo ragionamento è analogo a quello che trovi nelle nostre risoluzioni 🙂
La prova di Matematica del Liceo Internazionale opzione Inglese presenta un problema differente da quello del liceo scientifico. Ne pubblicherete la soluzione?
Ciao Mario, purtroppo ci concentriamo solo sulla prova dei licei scientifici.
Ma I problemi risolti quando li pubblicate?
Stiamo per pubblicare il problema 2. A seguire pubblicheremo anche il problema 1.
Pubblicherete oggi anche i problemi?
Stiamo per pubblicare il problema 2.
non capisco perchè nel quesito 8 non si possa utilizzare il teorema di Bernoulli P(x)= (12 10)*(1/2)^12. Sapete aiutarmi?
Per risolvere il quesito abbiamo utilizzato il teorema di Bernoulli, distinguendo i tre casi: si vincono esattamente 10 partite, 11 oppure 12. Nella tua risoluzione non tieni conto della regola che impone il termine del gioco con 10 vittorie.
Immagina di rappresentare le partite come una parola fatta da A e B, dove A rappresenta una partita vinta dal giocatore A e B una partita vinta dal giocatore B. Come hai fatto tu, tutte queste “parole” hanno 12 lettere; tuttavia, con il tuo metodo consideri anche ad esempio AAAAAAAAAABB, che però non ha senso, in quanto anche prima delle ultime due partite, A aveva già vinto, e B non ha continuato a giocare per altre due partite.
La soluzione del punto 4 del primo problema è 1000?
Sì! Arriviamo presto con tutto lo svolgimento!
Grazie
Eccoci Valentina ora lo trovi online!
Io nel primo punto del problema 1 ho scritto l’equazione della curva come y^2=x^2-2|x|+1, specificando che deve essere considerato solo l’intervallo [-1,1], ma ho visto che molti hanno scritto l’equazione come |y|=1-|x|. Potrebbe essere considerata buona anche la mia soluzione? Visto che ho specificato l’intervallo…
Buonasera Tommaso, dovrebbe andare bene avendo specificato l’intervallo!
Fermo restando che è sempre opportuno non scomodare i quadrati ogniqualvolta non ce ne sia bisogno, a maggior ragione se bisogna poi restringere il dominio, la tua soluzione non può essere considerata sbagliata, così come quelle definite a tratti, anche se |x|+|y|=1 supera tutte per eleganza
Buonasera, per il punto 3 del problema 2 era possibile calcolare l’area della parte di piano compresa tra la retta r1 e f1(x) da 0 a 2/3, sommare l’area della parte di piano compresa tra la retta s1 e f1(x) da 2/3 a 2, (sommare) l’area compresa tra la retta s1 e l’asse delle ascisse da 2 a 11/2 e calcolare il rapporto tra la somma di tali aree e l’area del triangolo T (per la probabilità dell’evento E1, probabilità se f1 (x) intersecasse l’asse delle ascisse in 2) e poi calcolare l’area della parte di piano compresa tra la retta r1 e f1 (x) da 0 a 2/3, sommare l’area della parte di piano compresa tra la retta s1 e f1(x) da 2/3 a 3, (sommare) l’area compresa tra la retta s1 e l’asse delle ascisse da 3 a 11/2 e calcolare il rapporto tra la somma di tali aree e l’area del triangolo T (per la probabilità dell’evento E2, probabilità se f1 (x) intersecasse l’asse delle ascisse in 3). Poi scrivere che p(E1)<p(E)<p(E2).
Grazie mille 🙂
Buonasera Lorenzo, hai provato a confrontare il tuo svolgimento con il nostro? In bocca al lupo 😉
Aspetto con ansia la soluzione del problema 1. Nel mio liceo non l’ha scelto quasi nessuno.
I ragazzi non amano cimentarsi con la ” realtà” o siamo noi che li abituiamo a esercizi troppo
astratti e standard e quindi questi li trovano poco appetibili?
Peccato perché era bello…
L’abbiamo appena pubblicata!
Ciao a tutti! In bocca al lupo per la terza prova e l’esame orale!
Buona estate da tutta la redazione di matematica di Zanichelli.