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 Geometria per riempire… la mente

Qual è il numero massimo di palline da tennis che entrano in una scatola?
Qual è il modo più efficiente per accatastare delle arance o per disporre un mucchio di mele?
Queste domande, tutt'altro che banali, costituiscono un esempio di packing problems, nei quali si deve determinare il modo ottimale per disporre alcune figure geometriche (piane o solide) all'interno di una figura più grande.
Collegati ai packing problems sono i covering problems, in cui le figure più piccole ricoprono completatamente quella grande che le contiene.
Per esempio: quante mattonelle quadrate occorrono per piastrellare un pavimento circolare? Oppure: con quanti francobolli si può rivestire la superficie di un'arancia?
Esiste una notevole collezione di questi problemi geometrici, come mostra questa bella pagina curata dal professor Erich Friedman della Stetson University.
 
In particolare, il problema delle mele e delle arance è un dilemma antico, e la congettura di Keplero, datata 1611, afferma che il modo più efficiente d'impilare oggetti sferici occupando il minor spazio possibile è proprio quella piramide che si vede spesso nei negozi di frutta. Sebbene il fruttivendolo impieghi qualche secondo per risolvere la questione empiricamente, gli studiosi hanno cercato di dimostrare la congettura per secoli, e soltanto qualche anno fa il matematico Thomas Hales c'è finalmente riuscito (vedi qui la sua affascinante descrizione del problema, o leggi questo articolo sull'American Scientist o questa pagina).
Un'altra variante di questi problemi geometrici è rappresentata dai filling problems: trovare il modo migliore per riempire una figura geometrica con un certo numero di figure più piccole senza superarne i bordi. In questo caso, le regole del gioco prevedono che le figure possano avere dimensioni diverse e possano venire sovrapposte. Una domanda generale nell'ambito dei filling problems è la seguente: qual è il modo migliore per disporre N cerchi di qualsiasi dimensione entro un'area riempiendola tutta?
Un team di ricercatori nanotecnologi della University of Michigan e della University of Connecticut ha recentemente trovato una soluzione al problema, pubblicata nel numero di Maggio di Physical Review Letters (qui un riassunto dell'articolo di ricerca). La strategia degli scienziati è quella di individuare l'ossatura principale del poligono più grande, cioè una serie di linee passanti per il centro in grado di rappresentare completamente la figura. Essi hanno scoperto, infatti, che la copertura ottimale è costituita da cerchi aventi i centri disposti lungo questo “scheletro”.
 
Problemi interessanti ma puramente astratti? Nulla di più falso, come spiegato in questo articolo di New Scientist o nel comunicato stampa della University of Michigan. Il numero di applicazioni pratiche è sorprendente: dalla radiologia, per curare le regioni affette dal cancro combinando raggi di dimensioni diverse, alla microelettronica, per velocizzare la produzione dei chip. E la sfida continua: gli scienziati sono in cerca di soluzioni per problemi simili ma tridimensionali, o addirittura multi-dimensionali. Le applicazioni tecnologiche sarebbero notevoli, dalla sicurezza degli impianti Wi-Fi contro gli attacchi degli hacker, utilizzando il minor numero possibile di antenne per contenere il segnale all'interno delle pareti di un edificio, alla demolizione efficiente degli edifici.

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