1Definizione del problema

• Ogni porta è numerata con un numero progressivo a partire da 1.
• Ogni porta è inizialmente chiusa.
• A ogni controllo, se la porta è chiusa, il guardiano la apre e viceversa.
• Al primo giro controlla tutte le porte.
• Al secondo giro controlla solo le porte con numero pari.
• Al terzo giro controlla solo quelle con un numero multiplo di tre e cosi via.
• Il guardiano compie in tutto dieci giri di controllo.

2Ricerca della soluzione

Inizialmente tutte le porte sono chiuse, come mostra la figura.

3Scelta della strategia risolutiva

A ogni giro si aprono o si chiudono le porte secondo le regole date. La porta 1 sarà aperta al primo controllo e mai più richiusa; la porta 2 dopo il secondo controllo sarà nuovamente chiusa e mai più riaperta. La porta 4 è un numero pari ma anche multiplo di quattro, quindi subisce due cambiamenti. Probabilmente è utile trascrivere i cambiamenti che le porte subiscono a ogni controllo.

4Realizzazione della soluzione

Si compiono dieci giri consecutivi modificando a ogni giro lo stato delle porte coinvolte in base alle regole date.

Al primo giro, poiché le porte sono tutte chiuse, le apre tutte:

Al secondo giro controlla solo le porte con numero pari:

Al terzo giro controlla solo le porte con numero multiplo di 3:

Al quarto giro controlla solo le porte con numero multiplo di 4:

Al quinto giro controlla solo le porte con numero multiplo di 5:

Al sesto giro controlla solo le porte con numero multiplo di 6:

Al settimo giro controlla solo le porte con numero multiplo di 7:

All’ottavo giro controlla solo le porte con numero multiplo di 8:

Al nono giro controlla solo le porte con numero multiplo di 9:

Al decimo giro controlla solo le porte con numero multiplo di 10:

5Verifica dei risultati

Dopo 10 controlli le porte aperte sono: 1, 4 e 9; mentre quelle chiuse sono: 2, 3, 5, 6, 7, 8 e 10.

È possibile risolvere il problema se il guardiano deve controllare cento porte senza ricorrere a un esame completo di tutti i possibili giri?

Nel caso di dieci porte quelle che rimangono chiuse sono quelle il cui numero è un quadrato perfetto: 1, 4 e 9.

1 = 1²      4 = 2²      9 = 3²

Si può dimostrare che questa osservazione è corretta in generale, a prescindere dal numero di porte: se le porte e i giri fossero 20 rimarrà chiusa anche la porta 16, dato che 16 = 4², e se le porte e i giri fossero 30 rimarrà chiusa anche la porta 25, dato che 25 = 5².

Applicando questo schema è possibile individuare più velocemente le porte chiuse, a partire dalla porta recante il numero 1, e successivamente indicando quelle il cui numero corrisponde a un quadrato perfetto ed è inferiore al numero totale delle porte da controllare.

Tuttavia con l’uso di un computer e di un algoritmo opportunamente progettato, è possibile applicare il procedimento esaustivo in tempi decisamente inferiori a quelli di un essere umano, anche se con l’aumentare del numero di porte il tempo di esecuzione del programma può diventare insostenibile, dato l’alto numero di confronti che devono essere ripetuti.